Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)在左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

（1）當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；

（2）在（1）的條件下，在第二象限拋物線對(duì)稱軸左側(cè)上存在一點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將（1）中拋物線沿直線向斜上方向平移個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸交新拋物線于點(diǎn)，延長至，且，若的外角平分線交點(diǎn)在新拋物線上，求點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）4；（2），；（3）．

【解析】

（1）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)是第二象限拋物線對(duì)稱軸左側(cè)上一點(diǎn)，將沿軸翻折得到，點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作軸于，證出，列表比例式，并找出關(guān)于t的方程即可得出結(jié)論；

（3）判斷點(diǎn)D在直線上，根據(jù)勾股定理求出DH，即可求出平移后的二次函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，于，軸于，根據(jù)勾股定理求出AG，聯(lián)立方程即可求出m、n，從而求出結(jié)論．

解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E

當(dāng)時(shí)，得到，

頂點(diǎn)，

∴DE=1

由，得，；

令，得；

，，，

，OC=3

．

（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)是第二象限拋物線對(duì)稱軸左側(cè)上一點(diǎn)，將沿軸翻折得到，點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作軸于，

由翻折得：，

；

，

，

軸，，

，

，

由勾股定理得：，

，

，

，

，，

，

解得：(不符合題意，舍去)，；

，．

（3）原拋物線的頂點(diǎn)在直線上，

直線交軸于點(diǎn)，

如圖2，過點(diǎn)作軸于，

；

由題意，平移后的新拋物線頂點(diǎn)為，解析式為，

設(shè)點(diǎn)，，則，，，

過點(diǎn)作于，于，軸于，

，

，

、分別平分，，

，

點(diǎn)在拋物線上，

，

根據(jù)題意得：

解得：