Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，定義點P（x，y）的變換點為P′（x+y，x﹣y）．
（1）如圖1，

如果⊙O的半徑為 ，
①請你判斷M（2，0），N（﹣2，﹣1）兩個點的變換點與⊙O的位置關系；
②若點P在直線y=x+2上，點P的變換點P′在⊙O的內，求點P橫坐標的取值范圍．
（2）如圖2，如果⊙O的半徑為1，且P的變換點P′在直線y=﹣2x+6上，求點P與⊙O上任意一點距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①M（2，0）的變換點M′的坐標為（2，2），則OM′= =2 ，所以點M（2，0）的變換點在⊙O上；

N（﹣2，﹣1）的變換點N′的坐標為（﹣3，﹣1），則ON′= = ＞2 ，所以點N（﹣2，﹣1）的變換點在⊙O外；

②設P點坐標為（x，x+2），則P點的變換點為P′的坐標為（2x+2，﹣2），則OP′= ，

∵點P′在⊙O的內，

∴ ＜2 ，

∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，

∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，

即點P橫坐標的取值范圍為﹣2＜x＜0；

（2）解：設點P′的坐標為（x，﹣2x+6），P（m，n），

根據題意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，

∴3m+n=6，

即n=﹣3m+6，

∴P點坐標為（m，﹣3m+6），

∴點P在直線y=﹣3x+6上，

設直線y=﹣3x+6與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過O點作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，

則A（2，0），B（0，6），

∴AB= =2 ，

∵ OHAB= OAOB，

∴OH= = ，

∴CH= ﹣1，

即點P與⊙O上任意一點距離的最小值為 ﹣1．

【解析】（1）比較d與r的大小可以判定點與圓的位置關系；（2）利用變換法則，求出變換點P'的運動軌跡為直線，圓上的點與直線的最短距離可轉化為圓心到直線的距離減去半徑.