Question

【題目】如圖，正三角形的邊長為．

如圖①，正方形的頂點、在邊上，頂點在邊上，在正三角形及其內部，以點為位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；

求中作出的正方形的邊長；

如圖②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得、在邊上，點、分別在邊、上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析.

【解析】

（1）如答圖①利用位似圖形的性質，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，即為所求.（2）設正方形的邊長為，根據正三角形、正方形、直角三角形相關線段之間的關系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的邊長即可.（3）設正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），求得面積和的表達式S= ，①當m=n時，S取得最小值；

②當m最大而n最小時，S取得最大值．結合第（1）（2）問m最大n最小的情形即可求得S的最大值.

如圖①，正方形即為所求．

設正方形的邊長為，

∵△ABC為正三角形，

∴

∵ ，

∴，

∴，即，（也正確）

如圖②，連接、、，則．

設正方形、正方形的邊長分別為、，

它們的面積和為，則，．

∴．

∴，

延長交于點，則，

在中，，

∵，即，化簡得，

∴，

①當時，即時，最小，

∴，

②當最大時，最大，

即當最大且最小時，最大，

∵，

由知，，

∴，

，（也正確）

綜上所述，，；