Question

【題目】閱讀理解：

二次根式的除法，要化去分母中的根號，需將分子、分母同乘以一個恰當的二次根式．

例如：化簡．

解：將分子、分母同乘以得：．

類比應用：

（1）化簡： ；

（2）化簡： ．

拓展延伸：

寬與長的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形ABCD的寬AB=1．

（1）黃金矩形ABCD的長BC= ；

（2）如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結論；

（3）在圖②中，連結AE，則點D到線段AE的距離為 ．

Answer 1

【答案】類比應用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由見解析；（3）

【解析】

類比應用：

（1）仿照題干中的過程進行計算；

（2）仿照題干中的過程進行計算；

拓展延伸：

（1）根據黃金矩形的定義結合AB=1進行計算；

（2）根據題意算出AD的長，從而得出DF，證明DF和EF的比值為即可；

（3）連接AE，DE，過D作DG⊥AE于點G，根據△AED的面積不同算法列出方程，解出DG的長即可.

解：類比應用：

（1）根據題意可得：

=；

（2）根據題意可得：

=

=

=

=2；

拓展延伸：

（1）∵寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，

若黃金矩形ABCD的寬AB=1，

則黃金矩形ABCD的長BC===；

（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由是：

由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，

根據黃金矩形的性質可得：AD=BC=，

∴FD=EC=AD-AF==，

∴=，

故矩形DCEF為黃金矩形；

（3）連接AE，DE，過D作DG⊥AE于點G，

∵AB=EF=1，AD=，

∴AE=，

在△AED中，

S△AED =，

即，則，

解得DG=，

∴點D到線段AE的距離為.