Question

【題目】如圖，AD是Rt△ABC斜邊BC上的中線，過A，D兩點的⊙O交AC于E，弦EF∥BC．

（1）求證：AD＝EF；

（2）若O在AC邊上，且⊙O與BC邊相切，當EF＝2時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）π．

【解析】

（1）連接DF，根據直角三角形斜邊中線的性質得出AD=CD，得出∠DAC=∠C，根據圓周角定理得出∠DFE=∠DAC，即可得出∠DFE=∠C，根據平行線的性質和判定即可證得FD∥EC，得出四邊形EFDC是平行四邊形，即可證得結論；

（2）連接OF，DE，根據直角三角形斜邊中線的性質和切線的性質得出∠DAC=∠C=∠EDC，根據圓周角定理得出∠ADE=90°，根據三角形內角和定理求得∠C=30°，根據平行線的性質和等腰三角形的性質得出∠EOF=120°，解直角三角形求得半徑的長，然后根據弧長公式即可求得．

（1）如圖，連接DF，

∵AD是Rt△ABC斜邊BC上的中線，

∴AD＝DC，

∴∠DAC＝∠C，

∵∠DFE＝∠DAC，

∴∠DFE＝∠C，

∵EF∥BC，

∴∠CEF+∠C＝180°，

∴∠DFE+∠CEF＝180°，

∴FD∥EC，

∴四邊形EFDC是平行四邊形，

∴EF＝DC，

∴AD＝EF．

（2）如圖，連接OF，DE，

∵AD是Rt△ABC斜邊BC上的中線，

∴AD＝DC，

∴∠DAC＝∠C，

∵⊙O與BC邊相切，

∴∠EDC＝∠DAC，

∴∠EDC＝∠C，

∵AE是直徑，

∴∠ADE＝90°，

∵∠ADC+∠DAC+∠C＝180°，

∴90°+3∠C＝180°，

∴∠C＝30°，

∵EF∥BC，

∴∠OEF＝∠C＝30°，

∴OE＝＝＝，

∵OE＝OF，

∴∠OFE＝∠OEF＝30°，

∴∠EOF＝120°，

∴的長＝＝π．