Question

【題目】定義：若△ABC中，其中一個內角是另一個內角的一半，則稱△ABC為“半角三角形”．

（1）若Rt△ABC為半角三角形，∠A=90°，則其余兩個角的度數為．

（2）如圖，以△ABC的邊AB為直徑畫圓，與邊AC交于M，與邊BC交于N，已知CN=AC

①求證：∠C=60°．

②若△ABC是半角三角形，求∠B的度數．

Answer 1

【答案】（1）45°，45°或30°，60°；（2）略；（3）30°，40°，80°，90°

【解析】

（1）根據“半角三角形”的定義即可解決問題；

（2）①只要證明△CMN∽△CBA，可得，即，在Rt△ACN中，sin∠，即可推出∠CAN＝30°解決問題；

②根據“半角三角形”的定義即可解決問題.

(1)∵Rt△ABC為半角三角形，∠A＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，或∠B＝60°，∠C＝30°或∠B＝30°，∠C＝60°，

∴其余兩個角的度數為45°，45°或30°，60°，

故答案為45°，45°或30°，60°．

(2)①如圖中，連接AN．

∵AB是直徑，

∴∠ANB＝90°，

∵∠C＝∠C，∠CMN＝∠B，

∴△CMN∽△CBA，

∴，即，

在Rt△ACN中，sin∠CAN＝，

∴∠CAN＝30°，

∴∠C＝60°．

②∵△ABC是半角三角形，∠C＝60°，

所以如果∠B是△ABC中∠C的一半，則∠B＝30°.

如果∠A是△ABC中∠C的一半，則∠A＝30°，故∠B＝90°.

如果∠B是△ABC中∠A的一半，則∠B＝，故∠B＝40°.

如果∠A是△ABC中∠B的一半，則∠B＝，故∠B＝80°.

∴∠B＝30°或40°或80°或90°．