Question

【題目】如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，同時，拋物線C2的頂點在拋物線C1上，那么我們稱拋物線C1與C2關聯．

（1）已知拋物線C1：y＝﹣2x2+4x+3與C2：y＝2x2+4x﹣1，請判斷拋物線C1與拋物線C2是否關聯，并說明理由．

（2）拋物線C1：，動點P的坐標為（t，2），將拋物線繞點P旋轉180°得到拋物線C2，若拋物線C1與C2關聯，求拋物線C2的解析式．

（3）點A為拋物線C1：的頂點，點B為拋物線C1關聯的拋物線的頂點，是否存在以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，使其直角頂點C在直線x＝﹣10上？若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1與拋物線C2相互關聯；理由見解析；（2）或；（3）不存在以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，使其直角頂點C在直線x＝﹣10上，理由見解析.

【解析】

（1）C頂點坐標M（1，5），當x＝1時，y＝2x2＋4x1＝5，故拋物線C1頂點在C2的拋物線上，同理可得拋物線C2頂點在C1的拋物線上，即可求解；

（2）求出C2頂點坐標為（9＋2t，2），將該頂點坐標代入C1的函數表達式得：2＝（9＋2t＋9）2＋6，求解即可得C2頂點坐標，易得解析式；

（3）設點C（10，n），點B（1，2）或（17，2），點A（9，6），以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，則AC2＝BC2且AC2＋BC2＝AB2，即可求解．

（1）∵拋物線C1：y＝﹣2(x-1)2+5，

∴C頂點坐標M（1，5），

當x＝1時，y＝2x2+4x﹣1＝5，故拋物線C1頂點在C2的拋物線上；

同理可得：C：頂點坐標M（﹣1，﹣3），拋物線C2頂點在C1的拋物線上，

故拋物線C1與拋物線C2關聯；

（2）∵拋物線C1頂點坐標為：（﹣9，6），點P的坐標為（t，2），

由中點公式得：C2頂點坐標為（9+2t，﹣2），

將該頂點坐標代入C1的函數表達式得：﹣2＝﹣（9+2t+9）2+6，

解得：t＝﹣5或﹣13，

故C2頂點坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣17，﹣2），

故函數C2的表達式為：或；

（3）不存在，理由：

設點C（﹣10，n），點B（﹣1，﹣2）或（﹣17，﹣2），點A（﹣9，6），

以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，則AC2＝BC2且AC2+BC2＝AB2，

①當點B（﹣1，﹣2）時，

AB2＝128，AC2＝1+（n﹣6）2，BC2＝81+（n+2）2，

故1+（n﹣6）2＝81+（n+2）2，解得：n＝－3，

∵128＝1+（n﹣6）2+81+（n+2）2，將n＝－3代入上式，等式不成立，

故無解；

②當點B（﹣17，﹣2），

則AB2＝128，AC2＝1+（n﹣6）2，BC2＝49+n+2）2，

同理可得：無解；

故：不存在以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，使其直角頂點C在直線x＝﹣10上．