Question

14．如圖，已知平行四邊形ABCD，點M、N是邊DC、BC的中點，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow b$；
（1）求向量$\overrightarrow{MN}$（用向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$表示）；
（2）在圖中求作向量$\overrightarrow{MN}$在$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$方向上的分向量；（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，又由點M、N是邊DC、BC的中點，根據三角形中位線的性質，即可求得向量$\overrightarrow{MN}$；
（2）首先平移向量$\overrightarrow{MN}$，然后利用平行四邊形法則，即可求得答案．

解答 解：（1）方法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC，AB=DC，AD=BC，
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow b$，
∵點M、N分別為DC、BC的中點，
∴$\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow a$，$\overrightarrow{NC}=\frac{1}{2}\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b$．

方法二：∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，
∵點M、N分別為DC、BC的中點，
∴$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b$；

（2）作圖：結論：$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AQ}$是向量$\overrightarrow{MN}$分別在$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$方向上的分向量．

點評 此題考查了平面向量的知識、平行四邊形的性質以及三角形的中位線的性質．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應用是解此題的關鍵．