Question

【題目】如圖，在矩形中，，點在直線上，與直線相交所得的銳角為，點在直線上，，垂足為點，與點重合，，以為直徑，在的右側作半圓，點是半圓上任意一點．

（1）發現：連接，則線段的最大值為____________；

（2）矩形保持不動，半圓沿直線向右平移，設平移距離為．思考：點E落在邊上時，求半圓與矩形重合部分的面積；

（3）探究：在平移過程中，當半圓與矩形的邊相切時，直接寫出的值（參考數據：結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）或或

【解析】

（1）當點M與點E重合時，AM有最大值，利用勾股定理即可求解；

（2）連結OG，過點O作OH⊥EG，依據垂徑定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依據特殊銳角三角函數值可求得HE的長，從而得到EG的長，接下來求得∠EOG得度數，依據扇形的面積公式即可得到結論；

（3）如圖3所示，連結OH，OA．先證明AO為∠DAF的角平分線，則∠OAF=30°，利用特殊銳角三角函數值可求得AF的長，從而可求得x的值；如圖4所示：連結OH，OA，如圖5所示：延長CB交FA與G，連結OH，OG，同理可求得的值．

（1）由題意可知EF=6，AF=8，EF⊥，

當點M與點E重合時，AM有最大值，最大值=；

（2）如圖2所示：連結OG，過點O作OH⊥EG于H．

∵∠DAF=60°，EF⊥AF，
∴∠AEF=30°．

∵OE=OG=EF=3，

∴∠AEF=∠OGE=30°，
∴∠GOE=120°．
∴GE=2EH=2OE=6=3，OH=OE=，

∴S重合部分=S扇形GOE-S△GOE=；

（3）如圖3所示，AD為圓O的切線，H為切點，連結OH，OA．

則OH⊥AD．
又∵OF⊥AF，OH=OF，∠DAF=60°，
∴AO為∠DAF的角平分線，
∴∠OAF=∠DAF =30°．
∴AF=OF=3．
∴；

如圖4所示：AB為圓O的切線，H為切點，連結OH，OA．

∵AH、AF均為圓O的切線，∠DAF=60°，
∴OA為∠HAF的角平分線，
∴∠OAF==75°，
∴，即AF．
∴；

如圖5所示：BC為圓O的切線，H為切點，延長CB交直線于G，連結OH，OG．

∵BC、FG為圓O的切線，
∴OG平分∠HGF，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，

∴∠HGF =∠DAP=60°．
∴∠OGF=∠HGF =30°．

∵，，
∴AG=，FG=3，
∴AF= AG- FG=．
∴；

綜上所述，當的值為或或時，半圓O與矩形ABCD的邊相切．