Question

【題目】如圖1，矩形OABC的頂點A的坐標為（4,0），O為坐標原點，點B在第一象限，連接AC， tan∠ACO=2，D是BC的中點，

（1）求點D的坐標；

（2）如圖2，M是線段OC上的點，OM=OC，點P是線段OM上的一個動點，經過P、D、B三點的拋物線交 軸的正半軸于點E，連接DE交AB于點F.

①將△DBF沿DE所在的直線翻折，若點B恰好落在AC上，求此時點P的坐標；

②以線段DF為邊，在DF所在直線的右上方作等邊△DFG，當動點P從點O運動到點M時，點G也隨之運動，請直接寫出點G運動的路徑的長.

Answer 1

【答案】（1）D（2,2）；（2）①P（0,0）；②

【解析】

（1）根據三角函數求出OC的長度，再根據中點的性質求出CD的長度，即可求出D點的坐標；

（2）①證明在該種情況下DE為△ABC的中位線，由此可得F為AB的中點，結合三角形全等即可求得E點坐標，結合二次函數的性質可設二次函數表達式（此表達式為交點式的變形，利用了二次函數的平移的特點），將E點代入即可求得二次函數的表達式，根據表達式的特征可知P點坐標；

②可得G點的運動軌跡為，證明△DFF'≌△FGG'，可得GG'＝FF'，求得P點運動到M點時的解析式即可求出F'的坐標，結合①可求得FF'即GG'的長度.

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，

∴BC=OA=4，∠AOC=90°，

∵在Rt△ACO中，tan∠ACO==2，

∴OC=2，

又∵D為CB中點，

∴CD=2，

∴D（2,2）；

（2）①如下圖所示，

若點B恰好落在AC上的時,根據折疊的性質,

∵D為BC的中點，

∴CD=BD,

∴,

∴,

∴，

∴,DF為△ABC的中位線，

∴AF=BF,

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠ABC=∠BAE=90°

在△BDF和△AEF中，

∵

∴△BDF≌△AEF，

∴AE=BD=2,

∴E(6,0),

設，將E（6,0）帶入，8a+2=0

∴a=，則二次函數解析式為，此時P（0,0）；

②如圖，當動點P從點O運動到點M時，點F運動到點F'，點G也隨之運動到G'．連接GG'．當點P向點M運動時，拋物線開口變大，F點向上線性移動，所以G也是線性移動．

∵OM=OC=

∴,

當P點運動到M點時，設此時二次函數表達式為，將代入得，解得，所以拋物線解析式為，整理得.

當y=0時，，解得x=8（已舍去負值），

所以此時，

設此時直線 的解析式為y=kx+b，

將D（2,2），E（8,0）代入解得，

所以，

當x=4時，，所以,

由①得，

所以,

∵△DFG、△DF'G'為等邊三角形，

∴∠GDF＝∠G'DF'＝60°，DG＝DF，DG'＝DF'，

∴∠GDF﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'，

即∠G'DG＝∠F'DF，

在△DFF'與△FGG'中，

，

∴△DFF'≌△FGG'（SAS），

∴GG'＝FF'，

即G運動路徑的長為．