Question

【題目】圖中所示的拋物線形拱橋，當拱頂離水面4m時，水面寬8m．水面上升3米，水面寬度減少多少？下面給出了解決這個問題的兩種建系方法．

方法一如圖1，以上升前的水面所在直線與拋物線左側交點為原點，以上升前的水面所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy；

方法二如圖2，以拋物線頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系xOy，

Answer 1

【答案】4m

【解析】

方法一：根據頂點坐標為（4，4），設其解析式為y＝a（x﹣4）2+4，將（0，0）代入求出a的值即可得；

方法二：設拋物線解析式為y＝ax2，將點（4，﹣4）代入求得a的值，據此可得拋物線的解析式，再求出上漲3m后，即y＝﹣1時x的值即可得．

解：方法一、根據題意知，拋物線與x軸的交點為（0，0）、（8，0），其頂點坐標為（4，4），

設解析式為y＝a（x﹣4）2+4，

將點（0，0）代入，得：16a+4＝0，

解得：a＝﹣，

則拋物線解析式為y＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，

當y＝3時，﹣x2+2x＝3，

解得：x＝2或x＝6，

則水面的寬減少了8﹣（6﹣2）＝4（m）．

方法二：由題意知，拋物線過點（4，﹣4），

設拋物線解析式為y＝ax2，

將點（4，﹣4）代入，得：16a＝﹣4，

解得：a＝﹣，

所以拋物線解析式為y＝﹣x2，

當y＝﹣1時，﹣x2＝﹣1，

解得：x＝2或x＝﹣2，

則水面的寬減少了8﹣4＝4（m）．