Question

【題目】如圖，已知是的直徑，切于點，交于另一點．

（1）求證：；

（2）若是上一動點，則

①當 時，以，，，為頂點的四邊形是正方形；

②當 時，以，，，為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②30°或．

【解析】

（1）根據是的直徑，切于點，，可得=90°，=∠ACO，即可證明△ACD∽△BCA；

（2）①若四邊形A、O、C、D為正方形，可得∠AOC=90°，由OA=OC，得到∠OCA=∠OAC=45°，進而可得∠B=45°；

②若四邊形A、O、C、E為菱形，分二種情況討論：分點E與點A同側；點E與點A異側分別求解即可．

（1）證明：∵切于點，

∴，

∵，

∴，，

∵是的直徑，，

∴，，

∴，

∴，

∴；

（2）①若四邊形AOCD為正方形，

∴∠AOC=90°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=45°，

∵∠BAC=90°，

∴∠B=90°-45°=45°，

故答案為：45°；

②若四邊形A、O、C、E為菱形，分二種情況討論：分點E與點A同側；點E與點A異側，

當點E與點A同側時，連接AE，如圖所示：

∵AD為切線，

∴∠DAE=∠ECA，∠OAD=90°，

∵AOCE為菱形，

∴∠OAC=∠EAC，

∴∠DAE=∠ECA=∠OAC=30°，

∴∠ACO=30°，∠AOB=∠ACO+∠OAC=30°+30°=60°，

∵OA=OB，

∴∠B=60°；

當點E與點A異側時，如圖所示：

∵AOEC是菱形，

∴AC=AO=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠AOC=60°，

∵AO=BO，

∴∠B=∠BAO=30°，

綜上所述，∠B為30°或60°，

故答案為：30°或60°．