Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為菱形，且點D(﹣4，0)在x軸上，點B和點C(0，3)在y軸上，反比例函數y＝(k≠0)過點A，點E(﹣2，m)、點F分別是反比例函數圖象上的點，其中點F在第一象限，連結OE、OF，以線段OE、OF為鄰邊作平行四邊形OEGF．

(1)寫出反比例函數的解析式；

(2)當點A、O、F在同一直線上時，求出點G的坐標；

(3)四邊形OEGF周長是否有最小值？若存在，求出這個最值，并確定此時點F的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)點G的坐標為(2，﹣5)；(3)點F的坐標為(2，2)時，四邊形OEGF周長最小，最小值為：4+4．

【解析】

（1）首先根據D點坐標，寫出A點的橫坐標，再計算CD的長，根據菱形的性質，可得A點的坐標，代入反比例函數，即可求得k的值，進而求得反比例函數的解析式.

（2）首先將E點代入反比例函數，計算m,根據反比例函數的對稱性，可得F點的坐標，再證明△ENO≌△FMG，故求得G點坐標.

（3）設出F點的坐標，利用勾股定理列方程，利用二次函數求解.

解：(1)∵點D(﹣4，0)在x軸上，

∴A點橫坐標為：﹣4，

∵點C(0，3)在y軸上，

∴DC＝5，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD＝5，

∴點A的坐標為(﹣4，﹣5)，

則解析式為：；

(2)如圖，∵x＝﹣2時，y＝＝﹣10，

∴點E的坐標為(﹣2，﹣10)，

∵點A、O、F在同一直線上，

∴A，F關于原點對稱，

∴點F的坐標(4，5)，

分別過點E、F作EN⊥x軸于點N，FM⊥GM于點M，FM也垂直于x軸，

∵四邊形OEGF是平行四邊形，

∴EO∥FG，

∴∠NOE＝∠3，

∵∠2＝∠3＝∠1，

∴∠1＝∠NOE，

在△ENO和△FMG中

，

∴△ENO≌△FMG(AAS)，

設點G的坐標為(m，n)，則5﹣n＝10，m﹣4＝﹣2，

故n＝﹣5，m＝2，

則點G的坐標為(2，﹣5)；

(3)由于OE為定值，則只需求出OF的最小值即可，

設點F的坐標為(a，)，

根據勾股定理得， ，

顯然當a=時，OF2最小，即a＝2時，OF最小，OF＝2，

EO＝2，

因此，當點F的坐標為(2，2)時，四邊形OEGF周長最小，

最小值為：4+4．