Question

【題目】在菱形ABCD中，∠ABC＝60°

(1)如圖1，P是邊BD延長線上一點，以AP為邊向右作等邊△APE，連接BE、CE.

①求證：CE⊥AD；

②若AB＝，BE＝，求AE的長；

(2)如圖2，P是邊CD上一點，點D關于AP的對稱點為E，連接BE并延長交AP的延長線于點F，連接DE、DF.若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面積.

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②AE=；(2)△ADF的面積為.

【解析】

(1)①證△ADC和△ABC是等邊三角形，再證△BAP≌△CAE，推出∠ACE＝30°，由∠ACE+∠CAD＝90°即可證明結論；

②如圖1，設AC與BD交于點O，證∠BCE＝90°，由勾股定理求出CE，BP的長，由銳角三角函數等分別求出OA，OP的長，由勾股定理即可求出AP的長，即AE的長；

(2)如圖2，連接AE，過點A作AH⊥BF于點H，證∠HAF＝∠BAD＝60°，再證△DEF為等邊三角形，即可求出HF，AH的長，進一步求出△AEF的面積，證△ADF≌△AEF即可.

證明： (1)①在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，

∴∠ADC＝60°，且AB＝BC＝DA＝DC，

∴△ADC和△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠CAD＝60°，

又∵△APE是等邊三角形，

∴AE＝AP，∠EAP＝60°，

∴∠BAC+∠CAP＝∠PAE+∠CAP，

即∠BAP＝∠CAE，

∴△BAP≌△CAE(SAS)，

∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，

∵∠CAD＝60°，

∴∠ACE+∠CAD＝90°，

∴CE⊥AD；

②解：如圖1，設AC與BD交于點O，

由①知，∠ACE＝30°，且∠ACB＝60°，

∴∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝90°，

∵在Rt△BCE中，BC＝AB＝，BE＝，

∴CE＝＝4，

由①知，△BAP≌△CAE，

∴BP＝CE＝4，

在Rt△BOC中，∠ACB＝60°，

∴BO＝BC＝，CO＝AO＝BC＝，

∴OP＝BP﹣BO＝，

∴在Rt△AOP中，

AP＝＝＝，

∴AE＝AP＝；

(2)解：如圖2，連接AE，過點A作AH⊥BF于點H，

∵點D關于AP的對稱點為E，

∴AP垂直平分DE，

∴AD＝AE，FD＝FE，

∴∠EAF＝∠DAF＝∠EAD，∠DFA＝∠EFA＝∠DFE，

又∵在菱形ABCD中，AB＝AD，

∴AB＝AE，

∴AH垂直平分BE，

∴EH＝BH＝BE＝，∠BAH＝∠EAH＝∠BAE，

∴∠HAF＝∠EAH+∠EAF＝∠BAD，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，

∴∠HAF＝60°，

∴∠AFH＝90°﹣∠HAF＝30°，

∴∠DFE＝60°，

∴△DEF為等邊三角形，

∴EF＝DE＝5，

∴HF＝HE+EF＝+5＝，

在Rt△AHF中，∠AFH＝30°，

∴AH＝HF＝，

∴S△AEF＝EFAH＝×5×＝，

∵AD＝AE，FD＝FE，AF＝AF，

∴△ADF≌△AEF(SSS)，

∴△ADF的面積為.