Question

在某張航海圖上，標明了三個觀測點的坐標，如圖，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三個觀測點確定的圓形區域是海洋生物保護區．
（1）求圓形區域的面積；
（2）某時刻海面上出現-漁船A，在觀測點O測得A位于北偏東45°，同時在觀測點B測得A位于北偏東30°，求觀測點B到A船的距離．（≈1.7，保留三個有效數字）；
（3）當漁船A由（2）中位置向正西方向航行時，是否會進入海洋生物保護區？通過計算回答。

Answer 1

（1）25π；（2）16.2；（3）A船不會進入海洋生物保護區．

試題分析：（1）連接CB，CO，則CB∥y軸，由圓周角定理、勾股定理得OC=，則半徑OO′=5，S⊙O′=π•5²=25π．
（2）過點A作AD⊥x軸于點D，依題意，得∠BAD=30°，在Rt△ABD中，設BD=x，則AB=2x，由勾股定理AD=x，根據圖形得到OD=OB+BD=6+x，故AB=2x=6（+1）≈16.2
（3）過點A作AG⊥y軸于點G．過點O′作O′E⊥OB于點E，并延長EO′交AG于點F．由垂徑定理得，OE=BE=3．在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4．所以O′F=9+3-4=5+3＞5．
（1）連接CB，CO，則CB∥y軸，
∴∠CBO=90°，
設O′為由O、B、C三點所確定圓的圓心．
則OC為⊙O′的直徑．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=
半徑OO′=5，S⊙O′=π•5²=25π．

（2）過點A作AD⊥x軸于點D，依題意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，設BD=x，則AB=2x，
由勾股定理得，AD=，
由題意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=x
∴x=3（+1），
∴AB=2x=6（+1）≈16.2
（3）過點A作AG⊥y軸于點G．
過點O′作O′E⊥OB于點E，并延長EO′交AG于點F．
由（1）知，OO′=5，由垂徑定理得，OE=BE=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4
∵四邊形FEDA為矩形．
∴EF=DA，而AD=x=9+3
∴O′F=9+3-4=5+3＞5，
∴直線AG與⊙O′相離，A船不會進入海洋生物保護區．
考點: 1.勾股定理的應用；2.點與圓的位置關系．