Question

【題目】如圖，點A在⊙0上，點P是⊙0外一點．PA切⊙0于點A．連接OP交⊙0于點D，作AB⊥OP于點C，交⊙0于點B，連接PB.

(1)求證：PB是⊙0的切線；

(2)若PC=9，AB=6，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明△AOP≌△BOP，由PA切⊙O于點A得∠PAO＝90°，所以∠PBO＝∠PAO＝90°，可得結論；

（2）先根據垂徑定理得：BC＝，然后證明△PBC∽△BOC，根據對應邊成比例求出OC=3，再利用勾股定理求圓的半徑OB的長，利用三角函數得∠COB＝60°，利用三角形的面積公式和扇形的面積公式分別求S△OPB和S扇形BOD的值，最后利用面積差得結論；

解：（1）證明：如圖1，連接OB，

∵OA=OB,OP⊥AB，

∴AC=BC，∠AOC=∠BOC

∴OP垂直平分AB，

∵OA=OB，∠AOC=∠BOC,OP=OP，

∴△AOP≌△BOP（SAS），

∴∠PAO=∠PBO，

∵PA切⊙O于點A，

∴AP⊥OA，即∠PAO=90°，

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴OB⊥BP，

又∵點B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切線.

（2）∵OP⊥AB，OP經過圓心O，∴

∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，

∴∠PBC=∠BOC，

∴△PBC∽△BOC，

∴,即

∴OC=3，

∴在Rt△OCB中，OB=，

tan∠BOC=

∴∠COB=60°，

∴S△OPB =，S扇形BOD =，

∴S陰影=S△OPB-S扇形BOD=