Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y＝﹣x+4交x軸于點C，交y軸于點A，過A、C兩點的拋物線y＝ax2+bx+4交x軸負半軸于點B，且tan∠BAO＝．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知E、F是線段AC上異于A、C的兩個點，且AE＜AF，EF＝2，D為拋物線上第一象限內一點，且DE＝DF，設點D的橫坐標為m，△DEF的面積為S，求S與m的函數關系式（不要求寫出自變量m的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當∠EDF＝90°時，連接BD，P為拋物線上一動點，過P作PQ⊥BD交線段BD于點Q，連接EQ．設點P的橫坐標為t，求t為何值時，PE＝QE．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）S＝﹣m2+m；（3）當t的值為1+或1﹣時，PE＝QE．

【解析】

（1）令﹣x+4＝0，解得x＝8，令x＝0，y＝4，由tan∠BAO＝，OA＝4，得OB＝3，由以上可得點A、B、C坐標，然后利用待定系數法進行求解即可；

（2）點坐標轉換為線段長度，再利用相似三角形找到線段間的比例關系，繼而可求出S與m的函數關系式；

（3）可利用（2）得到線段的長度，再綜合分析（3）給出的已知信息，可知△EDF為等腰直角三角形，從而得到點E、D的坐標，繼而結合三角形中位線定理等知識列式求解即可.

（1）令﹣x+4＝0，解得x＝8，∴C（8，0），

令x＝0，y＝4，∴A（0，4），AC＝4，

∵tan∠BAO＝，OA＝4，∴OB＝3，

∴B（﹣3，0），

將點B、C代入拋物線y＝ax2+bx+4得，

，

解得，

∴拋物線得解析式為y＝﹣x2+x+4；

（2）如圖所示，過點D作x軸的垂線，垂足為G，交AC于點K，過點D作EF的垂線，垂足為H，

∵點D的橫坐標為m，當x＝m時，

y＝﹣m2+m+4，

設直線AC的解析式為y＝kx+b，代入點A、C，

，

解得，

∴y＝﹣x+4，

∴K（m，﹣m+4），

∴DK＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，

∵△DHK∽△COA，

∴，

∴，

∴DH＝（﹣m2+m），

∴S＝EFDH＝﹣m2+m；

（3）由（2）可知，DH＝（﹣m2+m），

∵EF＝2，DE＝DF，且∠EDF＝90°，

∴DH＝，

∴＝（﹣m2+m），

解得m1＝3，m2＝5，

當m＝3時，點E與點A重合，不符合題意舍，

∴m＝5，

∴D（5，4），

設點E的坐標為（k，﹣k+4），DE＝EF＝，

DE＝＝，

解得k1＝2，k2＝6，

∵E在點D左側，∴k＝2，

∴E（2，3），

連接BD，設BD的解析式為y＝kx+b，代入點B、D，

，解得，

∴直線BD的解析式為y＝x+，

過點E作y軸的平行線交BD于點N，

則點N的坐標為（2，），

∴EN＝，

連接PE并延長交BD于點K，

∵∠PQK＝90°，EP＝EQ，

∴∠EPQ＝∠EQP，

∴∠EKQ＝∠EQK，

∴EQ＝EK＝EP，

∴點E為PK的中點，

過點P作y軸的平行線交BD于點S，

∴PS＝2EN，

∵P（t，-t2+t+4），

∴S（t，t+），

∴PS＝-t2+t+，

∴-t2+t+＝1，

解得t1＝1+，t2＝1﹣，

∴當t的值為1+或1﹣時，PE＝QE．