Question

【題目】如圖①，定義：直線與x、y軸分別相交于A、B兩點，將繞著點O逆時針旋轉90°得到，過點A、B、D的拋物線P叫做直線的“糾纏拋物線”，反之，直線叫做P的“糾纏直線"，兩線“互為糾纏線”．

（1）若，則糾纏物線P的函數解析式是____________．

（2）判斷并說明與是否“互為糾纏線”．

（3）如圖②，若糾纏直線，糾纏拋物線P的對稱軸與相交于點E，點F在上，點Q在P的對稱軸上，當以點C、E、Q、F為頂點的四邊形是以為一邊的平行四邊形時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】

（1）若l：y=-2x+2，則點A、B、C、D的坐標分別為：（1，0）、（0，2）、（0，1）、（-2，0），則拋物線的表達式為：y=a（x+2）（x-1），即可求解；

（2）同理：點A、B、C、D的坐標分別為：（k，0）、（0，2k）、（0，k）、（-2k，0），則拋物線的表達式為：y=a（x+2k）（x-k），即可求解；

（3）以點C、E、Q、F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，由題意得：|xQ-xF|=1，即：m+1=±1，即可求解．

解：（1）若l：y=-2x+2，則點A、B、C、D的坐標分別為：（1，0）、（0，2）、（0，1）、（-2，0），

則拋物線的表達式為：y=a（x+2）（x-1），

將點B的坐標代入上式得：2=a（0+2）（0-1），解得：a=-1，

故答案為：y=-x2-x+2；

(2)同理：點A、B、C、D的坐標分別為：（k，0）、（0，2k）、（0，k）、（-2k，0），

則拋物線的表達式為：y=a（x+2k）（x-k），
將點B的坐標代入上式并解得：a= ，
故拋物線的表達式為：y=

故y=-2x+2k與y＝“互為糾纏線”；

點A、B、C、D的坐標分別為：（2，0）、（0，4）、（0，2）、（-4，0），

同理可得：拋物線的表達式為：y=

拋物線的對稱軸為：x=-1，

設點F（m，-2m+4），點Q（-1，n），

將點C、D的坐標代入一次函數表達式并求得：

直線CD的表達式為：y= x+2，

點CE橫坐標差為1，故縱坐標差為，

以點C、E、Q、F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，

由題意得：|xQ-xF|=1，即：m+1=±1，

解得：m=0或-2，
當m=0時，點F（0，4），則點Q（-1， ）；

同理當m=-2時，點Q（-1， ）；
綜上，點Q坐標為：Q（-1，）或Q（-1，）．