Question

【題目】小明是個愛動腦筋的孩子，他在學完與圓有關的角圓周角、圓心角后，意猶未盡，又查閱到了與圓有關的另一種角﹣﹣﹣﹣﹣﹣弦切角．請同學們先仔細閱讀下面的材料，再完成后面的問題．
材料：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角叫做弦切角．如圖1，弧 是弦切角∠PAB所夾的弧，他發現弦切角與它所夾的弧所對的圓周角有關系．

問題1：如圖2，直線DB切⊙O于點A，∠PCA是圓周角，當圓心O位于邊AC上時，
求證：∠PAD=∠PCA，請你寫出這個證明過程．
問題拓展：
如果圓心O不在∠PCA的邊上，∠PAD=∠PCA還成立嗎？如圖3，當圓心O在∠PCA的內部時，小明證明了這個結論是成立的．他的思路是：作直線AE，聯結PE，由問題1的結論可知∠PAD=∠PEA，而∠PCA=∠PEA，從而證明∠PAD=∠PC．
問題2：如圖4，當圓心O在∠PCA的外部時，∠PAD=∠PCA仍然成立．請你仿照小明的思路證明這個結論．
運用：如圖5，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經過點A的⊙O與BC切于點D，與AB、AC分別相交于E、F．求證：EF∥BC．（提示：可以直接使用本題中的結論）

Answer 1

【答案】解：問題1：證明：
∵AC是圓的直徑，
∴∠APC=90°，
∴∠ACP+∠PAC=90°，
∵直線DB切⊙O于點A，
∴∠DAC=90°，
∴∠PAD+∠PAC=90°，
∴∠PAD=∠PCA；
問題2：如圖4，

連接AO并延長交⊙O于點D′，連接PD′，
由問題1可知∠PAD=∠D′，
∵∠C=∠D′，
∴∠PAD=∠PCA；
運用：連接DF，如圖5，

∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，
∴∠EAD=∠DAC，
∵⊙O與BC切于點D，
∴∠FDC=∠DAC，
∴∠FDC=∠EAD，
∵在⊙O中∠EAD=∠EFD，
∴∠FDC=∠EFD，
∴EF∥BC
【解析】問題1：利用切線的以及圓周角定理即可證明∠PAD=∠PCA；
問題2：首先連接AO并延長交⊙O于點D′，連接PD′，由圓周角定理可得∠D′=∠C，又由AD′是直徑，AB切圓于點A，易證得∠PAD=∠PCA，繼而證得結論；
運用：連接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分線，⊙O與BC切于點D，可得∠FDC=∠EAD，又由圓周角定理可得∠EAD=∠EFD，繼而證得結論．