Question

【題目】拋物線F與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），對稱軸為直線x=1，頂點C在直線上，與y軸相交于點D（0，3）。

（1）求拋物線F的解析式；

（2）連結CD、BD，則線段BD與CD的數量關系和位置關系分別為 ；

（3）點P為直線CD上方拋物線F上的一個動點，PQ⊥CD，垂足為Q，若∠QPD=∠DBC，求點P的坐標。

Answer 1

【答案】（1）拋物線F的解析式為 ；

（2）BD⊥CD，BD=3CD；

（3）點P的坐標為P1和P2(4,5)

【解析】分析:（1）由題意得頂點C（1，-4），設拋物線解析式為;y=a(x-1) -4,把D(0，3)代入即可求解；（2）由D、B、C的坐標，求出線段BD,BC,BC的值，利用定理的逆定理判斷；（3）分兩種情況討論①當點Q在點D在下方時；②當點Q在點D在上方時.

本題解析：（1）將x=1代入y=x-5，∴y=-4，∴頂點C(1,-4)

設，∵過點D（0，-3）， ∴a-4=-3，∴a=1，∴ .

（2）BD⊥CD，BD=3CD

（3）①當點Q在點D在下方時

∵P1Q1⊥CD, ∴∠P1Q1D=∠BDC=90°

又∵∠DBC=∠Q1P1D

∴∠BCD=∠P1DQ1 ，∴∠BDE=∠DBE

∴ED=EC=BE即E為BC的中點

∴E（2，-2）, ∴

②當點Q在點D在上方時

∵∠P2Q2D=∠BDC=90°∠DBC=∠Q2P2D

∴∠DCB=∠Q2DP2,∴P2D∥BC, ∵B（3,0），C（1，-4）,∴,∵D（0，-3）

∴ ,∴P2(4,5) ,∴點P的坐標為和P2(4,5).