Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，點O為Rt△ABC內一點，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：
以點B為旋轉中心，將△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B（得到A、O的對應點分別為點A′、O′），并回答下列問題：
∠ABC= ， ∠A′BC= ， OA+OB+OC= ．

Answer 1

【答案】30°；90°；
【解析】解：∵∠C=90°，AC=1，BC= ，
∴tan∠ABC= = = ，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，
∴△A′O′B如圖所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等邊三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四點共線，
在Rt△A′BC中，A′C= = = ，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ．
所以答案是：30°；90°； ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解旋轉的性質的相關知識，掌握①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．