Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A，B，與y軸交于C，拋物線的頂點為D，直線l過C交x軸于E（4，0）．

（1）寫出D的坐標和直線l的解析式；

（2）P（x，y）是線段BD上的動點（不與B，D重合），PF⊥x軸于F，設四邊形OFPC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求S的最大值；

（3）點Q在x軸的正半軸上運動，過Q作y軸的平行線，交直線l于M，交拋物線于N，連接CN，將△CMN沿CN翻轉，M的對應點為M′．在圖2中探究：是否存在點Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（1，4），；（2）S=（），S最大值為；（3）Q的坐標為（，0）或（4，0）．

【解析】

試題分析：（1）先把拋物線解析式變成頂點式即可得到D點坐標，再求出C點坐標，然后利用待定系數法求直線l的解析式；

（2）先求出B（3，0），再求出直線BD的解析式為，則P（x，），根據梯形的面積公式可得S=（），再利用而此函數的性質求S的最大值；

（3）如圖2，設Q（t，0）（t＞0），則M（t，），N（t，），利用兩點間的距離公式得到MN=，CM=，然后證明NM=CM得到=，再解方程求滿足條件的t的值，從而得到點Q的坐標．

試題解析：（1）∵=，∴D（1，4），在中，當x=0時，y=3，則C（0，3），設直線l的解析式為，把C（0，3），E（4，0）分別代入得：，解得：，∴直線l的解析式為；

（2）如圖（1），當y=0時，，解得，，則B（3，0），設直線BD的解析式為，把B（3，0），D（1，4）分別代入得：，解得：，∴直線BD的解析式為，則P（x，），∴S==（），∵S=，∴當x=時，S有最大值，最大值為；

（3）存在．

如圖2，設Q（t，0）（t＞0），則M（t，），N（t，），∴MN==，CM==，∵△CMN沿CN翻轉，M的對應點為M′，M′落在y軸上，而QN∥y軸，∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，∴∠M′CN=∠CNM，∴∠M′CN=∠CNM′，∴CM′=NM′，∴NM=CM，∴=，

當=，解得t1=0（舍去），t2=4，此時Q點坐標為（4，0）；

當=，解得t1=0（舍去），t2=，此時Q點坐標為（，0），

綜上所述，點Q的坐標為（，0）或（4，0）．