Question

【題目】如圖，在⊙O中，點D是⊙O上的一點，點C是直徑AB延長線上一點，連接BD，CD，且∠A＝∠BDC．

（1）求證：直線CD是⊙O的切線；

（2）若CM平分∠ACD，且分別交AD，BD于點M，N，當DM＝2時，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）MN＝2.

【解析】

（1）如圖，連接OD．欲證明直線CD是⊙O的切線，只需求得∠ODC＝90°即可；

（2）由角平分線及三角形外角性質可得∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，根據勾股定理可求得MN的長．

（1）證明：如圖，連接OD．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，即∠A+∠ABD＝90°，

又∵OD＝OB，

∴∠ABD＝∠ODB，

∵∠A＝∠BDC；

∴∠CDB+∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°．

∵OD是圓O的半徑，

∴直線CD是⊙O的切線；

（2）解：∵CM平分∠ACD，

∴∠DCM＝∠ACM，

又∵∠A＝∠BDC，

∴∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，

∵∠ADB＝90°，DM＝2，

∴DN＝DM＝2，

∴MN＝＝2．