Question

【題目】如圖所示，二次函數的圖象與軸交于點、，與軸交于點，直線經過點、．

（1）求拋物線的表達式；

（2）過點的直線交拋物線于點，交直線于點，連接，當直線平分的面積時，求點的坐標；

（3）如圖所示，把拋物線位于軸上方的圖象沿軸翻折，當直線與翻折后的整個圖象只有三個交點時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據已知條件求出B、C兩個點的坐標，再把這兩個點的坐標代入二次函數即可求出拋物線的解析式；

（2）根據題意畫出圖形根據三角形的面積即可求解；

（3）先求出翻折后的拋物線解析式，再利用拋物線與直線相交的特點即可求解．

（1）令直線，x=0,得y=4

令y=0,則-x+4=0，解得x=4

∴點、的坐標分別為、，

把點、的坐標分別代入，

得，

解得

拋物線的表達式為：．

（2）令=0，

解得x1=-1,x2=4,

∴，

如圖所示，過點作于，

直線平分的面積，

，

當時，，

把代入，得，

直線的解析式為，

由解得，

；

（3）∵=，故頂點坐標為（，）

∴翻折后的拋物線的頂點坐標為（，-）

∴翻折后的拋物線為=，

∴翻折后的整個圖象包括兩部分：分別是：

拋物線y＝x23x4（1≤x≤4）和y＝x2＋3x＋4（x＞4或x＜1）．

①當直線y＝kx＋k與拋物線x23x4＝（1≤x≤4）相交時，

由，得x23x4＝kx＋k，

整理，得x2（k＋3）x（k＋4）＝0

解得x1＝1，x2＝k＋4．

所以y1＝0，y2＝k2＋5k．

所以兩個函數圖象有兩個交點，

其中一個交點為A（1，0），另一個交點坐標為（k＋4，k2＋5k）．

觀察圖象可知：另一個交點在x軸下方，橫坐標在1與4之間，縱坐標在與0之間．

所以1＜k＋4＜4，解得5＜k＜0．

＜k2＋5k＜0，整理，得

4k2＋20k＋25＞0或k2＋5k＜0，

解得，（2k＋5）2＞0或5＜k＜0．

k為任意實數，（2k＋5）2＞0都成立，

所以5＜k＜0；

②當直線y＝kx＋k與圖象y＝x2＋3x＋4（x＞4，或x＜1）相交時，

x2＋3x＋4＝kx＋k，

整理得x2＋（k3）x＋（k4）＝0

解得x1＝1，x2＝4k，

所以y1＝0，y2＝5kk2．

所以兩個函數圖象有兩交點，

其中一個是點A（1，0），另一個交點坐標為（4k，5kk2）．

觀察圖象可知：另一個交點的橫坐標大于4，縱坐標小于0，

即4k＞4，解得k＜0．

5kk2＜0，

∴k（5k）＜0，

∵k＜0，

∴5k＞0，

∴k＜5

∴k＜0

∴綜上所述：當直線y＝kx＋k與翻折后的整個圖象只有三個交點時，k的取值范圍是：5＜k＜0．