Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣x+c經過A(﹣2，0)，B(0，2)兩點，動點P，Q同時從原點出發均以1個單位/秒的速度運動，動點P沿x軸正方向運動，動點Q沿y軸正方向運動，連接PQ，設運動時間為t秒

(1)求拋物線的解析式；

(2)當BQ＝AP時，求t的值；

(3)隨著點P，Q的運動，拋物線上是否存在點M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，請求出t的值及相應點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－x＋2；（2）當BQ＝AP時，t＝1或t＝4；（3）存在．當t＝時，拋物線上存在點M（1，1），或當t＝時，拋物線上存在點M（﹣3，﹣3），使得△MPQ為等邊三角形．

【解析】

（1）把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝ax2－x＋c，求出解析式即可;

（2）BQ=AP，要考慮P在OC上及P在OC的延長線上兩種情況，有此易得BQ，AP關于t的表示，代入BQ=AP可求t值．
（3）考慮等邊三角形，我們通常只需明確一邊的情況，進而即可描述出整個三角形．考慮△MPQ，發現PQ為一有規律的線段，易得OPQ為等腰直角三角形，但僅因此無法確定PQ運動至何種情形時△MPQ為等邊三角形．若退一步考慮等腰，發現，MO應為PQ的垂直平分線，即使△MPQ為等邊三角形的M點必屬于PQ的垂直平分線與拋物線的交點，但要明確這些交點僅僅滿足△MPQ為等腰三角形，不一定為等邊三角形．確定是否為等邊，我們可以直接由等邊性質列出關于t的方程，考慮t的存在性．

（1）∵拋物線經過A（﹣2，0），B（0，2）兩點，

∴，解得

∴拋物線的解析式為y＝－x2－x＋2．

（2）由題意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t．

①當t≤2時，點Q在點B下方，此時BQ＝2－t．

∵BQ＝AP，∴2﹣t＝（2＋t），∴t＝1．

②當t＞2時，點Q在點B上方，此時BQ＝t﹣2．

∵BQ＝AP，∴t﹣2＝（2+t），∴t＝4．

∴當BQ＝AP時，t＝1或t＝4．

（3）存在．

作MC⊥x軸于點C，連接OM．

設點M的橫坐標為m，則點M的縱坐標為－m2－m＋2．

當△MPQ為等邊三角形時，MQ＝MP，

又∵OP＝OQ，

∴點M點必在PQ的垂直平分線上，

∴∠POM＝∠POQ＝45°，

∴△MCO為等腰直角三角形，CM＝CO，

∴m＝－m2－m＋2，

解得m1＝1，m2＝﹣3．

∴M點可能為（1，1）或（﹣3，﹣3）．

①如圖，

當M的坐標為（1，1）時，

則有PC＝1﹣t，MP2＝1＋（1﹣t）2＝t2﹣2t＋2，

PQ2＝2t2，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP＝PQ，

∴t2﹣2t＋2＝2t2，

解得t1＝，t2＝（負值舍去）．

②如圖，

當M的坐標為（﹣3，﹣3）時，

則有PC＝3＋t，MC＝3，

∴MP2＝32＋（3＋t）2＝t2＋6t＋18，PQ2＝2t2，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP＝PQ，

∴t2＋6t＋18＝2t2，

解得t1＝，t2＝（負值舍去）．

∴當t＝時，拋物線上存在點M（1，1），或當t＝時，拋物線上存在點M（﹣3，﹣3），使得△MPQ為等邊三角形．