Question

【題目】已知：拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點(diǎn)A，B，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，其對稱軸為x=1，拋物線l2經(jīng)過點(diǎn)A，與x軸的另一個交點(diǎn)為E（5，0），交y軸于點(diǎn)D（0，﹣ ）．

（1）求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為直線x=1上一動點(diǎn)，連接PA，PC，當(dāng)PA=PC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M為拋物線l2上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN∥y軸，交拋物線l1于點(diǎn)N，求點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)E的過程中，線段MN長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線l1：y=﹣x2+bx+3的對稱軸為x=1，

∴﹣ =1，解得b=2，

∴拋物線l1的解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），

∵拋物線l2經(jīng)過點(diǎn)A、E兩點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線l2解析式為y=a（x+1）（x﹣5），

又∵拋物線l2交y軸于點(diǎn)D（0，﹣ ），

∴﹣ =﹣5a，解得a= ，

∴y= （x+1）（x﹣5）= x2﹣2x﹣ ，

∴拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣2x﹣

（2）解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），由（1）可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，

∵PC=PA，

∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）

（3）解：由題意可設(shè)M（x， x2﹣2x﹣ ），

∵M(jìn)N∥y軸，

∴N（x，﹣x2+2x+3）， x2﹣2x﹣

令﹣x2+2x+3= x2﹣2x﹣ ，可解得x=﹣1或x= ，

①當(dāng)﹣1＜x≤ 時，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（ x2﹣2x﹣ ）=﹣ x2+4x+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，

顯然﹣1＜ ≤ ，∴當(dāng)x= 時，MN有最大值 ；

②當(dāng) ＜x≤5時，MN=（ x2﹣2x﹣ ）﹣（﹣x2+2x+3）= x2﹣4x﹣ = （x﹣ ）2﹣ ，

顯然當(dāng)x＞ 時，MN隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=5時，MN有最大值， ×（5﹣ ）2﹣ =12；

綜上可知在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)E的過程中，線段MN長度的最大值為12

【解析】（1）由拋物線l1的對稱軸為x=1，得到b=2，得到拋物線l1的解析式，得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），由待定系數(shù)法求出拋物線l2 的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由（1）可得C點(diǎn)坐標(biāo)，由PC=PA，得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；（3）由題意可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由MN∥y軸，得到N點(diǎn)坐標(biāo)，得出MN有最大值 ；②當(dāng) ＜x≤5時 ，顯然當(dāng)x＞ 時，MN隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=5時，MN有最大值；綜上可知在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)E的過程中，線段MN長度的最大值為12；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì).