Question

【題目】在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的中線，BD與CE交于點O．

（1）如圖1，若M、N分別是OB、OC的中點，求證：OB=2OD；

（2）如圖2，若BD⊥CE，AB=8，BC=6，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）依據三角形中位線定理，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根據相似三角形的性質即可得到結論；

（2）依據AB=8，BC=6，點D，點E分別是AC，AB的中點，即可得出BE=4，DE=3，再根據勾股定理即可得到DE2+BC2=BE2+BC2，進而得到AC的長．

解：（1）∵BD、CE分別是邊AC、AB上的中線，

∴點D，點E分別是AC，AB的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE//BC，DE=BC，

同理可證：MN//BC，MN=BC，

∴四邊形DEMN是平行四邊形，

∴OD=OM，

∵OB=2OM，

∴OB=2OD；

（2）∵AB=8，BC=6，點D，點E分別是AC，AB的中點，

∴BE=4， DE=3，

又∵BD⊥CE，

∴DE2=DO2+EO2，BC2=BO2+CO2，

BE2=BO2+EO2，CD2=DO2+CO2，

∴DE2+BC2=BE2+CD2，

即32+62=42+CD2，

解得CD=，

∴AC=2CD=．