Question

【題目】如圖，正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在x軸上，點C上y軸上，點B在反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象上，點E從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度向x軸正方向運動，過點E作x的垂線，交反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象于點P，過點P作PF⊥y軸于點F；記矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S，點E的運動時間為t秒．

（1）求該反比例函數的解析式．

（2）求S與t的函數關系式；并求當S=時，對應的t值．

（3）在點E的運動過程中，是否存在一個t值，使△FBO為等腰三角形？若有，有幾個，寫出t值．

Answer 1

【答案】（1）y=（x＞0）；（2）S與t的函數關系式為：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣（t＞3）；當S=時，對應的t值為或6；（3）當t=或或3時，使△FBO為等腰三角形．

【解析】

（1）由正方形OABC的面積為9，可得點B的坐標為：（3，3），繼而可求得該反比例函數的解析式．
（2）由題意得P（t，），然后分別從當點P1在點B的左側時，S=t（-3）=-3t+9與當點P2在點B的右側時，則S=（t-3）=9-去分析求解即可求得答案；
（3）分別從OB=BF，OB=OF，OF=BF去分析求解即可求得答案．

解：（1）∵正方形OABC的面積為9，

∴點B的坐標為：（3，3），

∵點B在反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象上，

∴3=，

即k=9，

∴該反比例函數的解析式為：y= y=（x＞0）；

（2）根據題意得：P（t，），

分兩種情況：①當點P1在點B的左側時，S=t（﹣3）=﹣3t+9（0≤t≤3）；

若S=，

則﹣3t+9=，

解得：t=；

②當點P2在點B的右側時，則S=（t﹣3）=9﹣；

若S=，則9﹣=，

解得：t=6；

∴S與t的函數關系式為：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣（t＞3）；

當S=時，對應的t值為或6；

（3）存在．

若OB=BF=3，此時CF=BC=3，

∴OF=6，

∴6=，

解得：t=；

若OB=OF=3，則3=，

解得：t= ；

若BF=OF，此時點F與C重合，t=3；

∴當t=或或3時，使△FBO為等腰三角形．