Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，以AE為直徑作⊙O

（1）求證：點(diǎn)D在⊙O上；

（2）求證：BC是⊙O的切線；

（3）若AC=6，BC=8，求BE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BE=．

【解析】

(1)連接OD，由DO為直角三角形斜邊上的中線，得到OD=OA=OE，可得出點(diǎn)D在圓O上；

（2）由AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由OD=OA，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OD與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等即可得到∠ODB為直角，即BC與OD垂直，即可確定出BC為圓O的切線；

（3）過(guò)E作EH垂直于BC，由OD與AC平行，得到△ACB與△ODB相似，設(shè)OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OD與BE的長(zhǎng)．

（1）連接OD，

∵△ADE是直角三角形，OA=OE，

∴OD=OA=OE，

∴點(diǎn)D在⊙O上；

（2）∵AD是∠BAC的角平分線，

∴∠CAD=∠DAB，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠C=∠ODB=90°，

∴BC是⊙O的切線；

（3）在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，

∴根據(jù)勾股定理得：AB=10，

設(shè)OD=OA=OE=x，則OB=10﹣x，

∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，

∴，

∴OD=，

解得：x=，

∴OD=，BE=10﹣2x=10﹣=．