Question

【題目】在矩形ABCD中，E為射線BC上一點，DF⊥AE于F，連接DE．

（1）如圖1，若E在線段BC上，且CE＝EF，求證：AD＝AE；

（2）若AB＝6，AD＝10，在點E的運動過程中，連接BF．

①當△ABF是以AB為底的等腰三角形時，求BE的長；

②當BF∥DE時，若S△ADF＝m，S△DCE＝n，探究m﹣n的值并簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①BE的長是2或18；②m﹣n＝0，理由見解析．

【解析】

（1）根據矩形的性質可證△CED≌△FED即可證明；
（2）①分兩種情況：當點E在線段BC上時，AF=BF，利用矩形的性質解答即可；當點E在BC延長線上時，AF=BF，利用矩形的性質解答即可；
②當BF∥DE時，延長BF交AD于G，利用三角形的面積和平行四邊形的面積之間的關系解答即可．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DCE＝90°，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC，

∵DF⊥AE

∴∠DCE＝∠DFE＝90°，

∵CE＝EF，DE＝DE，

∴△CED≌△FED（HL），

∴∠CED＝∠FED，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE；

（2）①分兩種情況：當點 E 在線段 BC 上時，AF＝BF，如圖 1 所示：

∴∠ABF＝∠BAF，

∵∠ABF+∠EBF＝90°，

∠BAF+∠BEF＝90°，

∴∠EBF＝∠BEF，

∴EF＝BF，

∴AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝10，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，

∴CE＝8，

∴BE＝10﹣8＝2；

當點 E 在 BC 延長線上時，AF＝BF，如圖 2 所示：

同理可證 AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝10，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，

∴CE＝8，

∴BE＝10+8＝18，

綜上，BE的長是2或18；

②m﹣n＝0，

理由如下：

當 BF∥DE 時，延長 BF 交 AD 于 G．如圖3：

因為四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，

∠BAG＝∠DCE＝90°，

∵BF∥DE，

∴四邊形 BEDG 是平行四邊形，

∴BE＝DG，

∴S△DEF＝BEDG，AG＝CE，

S△BEF+S△DFG＝SBEDG，

∵△ABG≌△CDE，

∴S△ABG＝S△CDE，

∵S△ABE＝SBEDG，

∴S△ABE＝S△BEF+S△DFG，

∴S△ABF＝S△DFG，

∴S△ABF+S△AFG＝S△DFG+S△AFG，

即S△ABG＝S△ADF，

∴S△CDE＝S△ADF，

即m﹣n＝0．