Question

【題目】如圖1是實驗室中的一種擺動裝置，在地面上，支架是底邊為的等腰直角三角形，，擺動臂可繞點旋轉，．

（1）在旋轉過程中

①當、、三點在同一直線上時，求的長，

②當、、三點為同一直角三角形的頂點時，求的長．

（2）若擺動臂順時針旋轉，點的位置由外的點轉到其內的點處，如圖2，此時，，求的長．

（3）若連接（2）中的，將（2）中的形狀和大小保持不變，把繞點在平面內自由旋轉，分別取、、的中點、、，連接、、、隨著繞點在平面內自由旋轉， 的面積是否發生變化，若不變，請直接寫出的面積；若變化，的面積是否存在最大與最小?若存在，請直接寫出面積的最大值與最小值，（溫馨提示）

Answer 1

【答案】（1）①或；②長為或；（2）；（3）的面積會發生變化；存在，最大值為：，最小值為：

【解析】

（1）①分兩種情形分別求解即可；
②顯然不能為直角；當為直角時，根據計算即可；當為直角時，根據計算即可；

（2）連接，，證得為等腰直角三角形，根據SAS可證得，根據條件可求得，根據勾股定理求得，即可求得答案；

（3）根據三角形中位線定理，可證得是等腰直角三角形，求得，當取最大時，面積最大，當取最小時，面積最小，即可求得答案．

（1）①，

或；

②顯然不能為直角；

當為直角時，，

即，

解得：；

當為直角時，，

即，

；

綜上：長為或；

（2）如圖，連接，，

根據旋轉的性質得：為等腰直角三角形，

∴，，

，，，

，

，

在和中，

，

，

，

又∵，

，

，

；

（3）發生變化，存在最大值和最小值，

理由：如圖，

點P，M分別是，的中點，

，，

點N，P分別是，的中點，

，，

，

，

是等腰三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形；

∴

，

當取最大時，面積最大，

∴

，

當取最小時，面積最小，

∴

故：的面積發生變化，存在最大值和最小值，最大值為：，最小值為：．