Question

【題目】如圖，⊙O的直徑為，點在圓周上（異于），是的平分線，.

（1）求證：直線是⊙O的切線；

（2）若=3，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質和等邊對等角，可證得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．

（2）根據直徑所對的圓周角是直角得出∠ACB＝90°，根據勾股定理求出AC＝4，然后證出△ABC∽△ACD，利用相似三角形的對應邊成比例列式解答即可．

試題解析：

（1）證明：連接OC，

∵AC是∠DAB的角平分線，

∴∠DAC＝∠BAC，

又∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切線；

（2）解：∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，

∴∠ACB＝90°，

又∵BC＝3，AB＝5，

∴由勾股定理得AC＝4．

∵∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠D＝ 90°，

∴△ABC∽△ACD，

∴，

∴，

解得：AD＝．