Question

【題目】如圖，二次函數y＝﹣x2+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸相交于C點．

（1）求m的值及C點坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得它到B、C兩點的距離和最小，若存在，求出此時M點坐標，若不存在，請說明理由；

（3）P為拋物線上一點，它關于直線BC的對稱點為Q，當四邊形PBQC為菱形時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）m=4，C（0，4）；（2）存在M（），見解析；（3）P（）或P（）.

【解析】

（1）用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先求得點C的坐標，然后依據待定系數法求得直線BC的解析式，然后再求得拋物線的對稱軸方程，由三角形的三邊關系可知當點P、C、B在一條直線上時，PC+PB有最小值，最后將點P的橫坐標代入直線BC的解析式可求得點P的縱坐標；

（3）先判斷出四邊形PBQC時菱形時，點P是線段BC的垂直平分線，利用該特殊性建立方程求解．

解：（1）將B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，

解得，m＝4，

二次函數解析式為y＝﹣x2+3x+4，

令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4）；

（2）存在，如圖所示

∵MC+MB≥BC，

∴當點M、C、B在一條直線上時，MC+MB有最小值．

∵點C的坐標為（0，4）．

設直線BC的解析式為y＝kx+4．

∵將點B、C的坐標代入得：，解得k＝﹣1，b＝4，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，

∵拋物線的對稱軸為，

∴點M的橫坐標為，

∵將代入直線BC的解析式得，

∴點M的坐標為；

（3）如圖，

∵點P在拋物線上，

∴設P（m，﹣m2+3m+4），

當四邊形PBQC是菱形時，點P在線段BC的垂直平分線上，

∵B（4，0），C（0，4）

∴線段BC的垂直平分線的解析式為y＝x，

∴m＝﹣m2+3m+4，

∴，

∴或．