Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，D是BC的中點，過點D的反比例函數圖象交AB于E點，連接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．

(1)求過點D的反比例函數的解析式；

(2)求△DBE的面積；

(3)x軸上是否存在點P使△OPD為直角三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）3（3）P點的坐標是（4，0）或（，0）．

【解析】

（1）由四邊形OABC是矩形，得到BC=OA，AB=OC，根據tan∠COD=，設OC=3x，CD=4x，求出OD=5x=5，OC=3，CD=4，得到D（4，3），代入反比例函數的解析式即可．

（2）根據D點的坐標求出點B，E的坐標即可求出結論；

（3）分類討論：當∠OPD=90°時，過D作PD⊥x軸于P，點P即為所求，當∠ODP=90°時，根據射影定理即可求得結果．

（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴BC=OA，AB=OC，

∵tan∠COD=，

∴設OC=3x，CD=4x，

∴OD=5x=5，

∴x=1，

∴OC=3，CD=4，

∴D（4，3），

設過點D的反比例函數的解析式為：y=，

∴k=12，

∴反比例函數的解析式為：y=；

（2）∵點D是BC的中點，

∴B（8，3），

∴BC=8，AB=3，

∵E點在過點D的反比例函數圖象上，

∴E（8，），

∴S△DBE=BDBE==3；

（3）存在，

∵△OPD為直角三角形，

∴當∠OPD=90°時，PD⊥x軸于P，

∴OP=4，

∴P（4，0），

當∠ODP=90°時，

如圖，過D作DH⊥x軸于H，

∴OD2=OHOP，

∴OP=．

∴P（，O），

∴存在點P使△OPD為直角三角形，

∴P（4，O），（，O）．