Question

2．如圖，數(shù)軸上線段AB=2，CD=4，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是16，若線段AB以6個(gè)單位/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CD以2個(gè)單位/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）問(wèn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)BC=8？
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到BC=8時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是4或16
（3）當(dāng)3≤t＜$\frac{13}{4}$，B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段CD上時(shí)，P是線段AB上一點(diǎn)，是否存在關(guān)系式BD-AP=3PC？若存在，求線段PC的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BC=8（單位長(zhǎng)度），然后分點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊和右邊兩種情況，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（2）由（1）中求出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可求出點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)；
（3）隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，分別討論當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)C重合、點(diǎn)C在點(diǎn)A和B之間及點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)的情況．

解答 解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BC=8單位長(zhǎng)度，
①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊時(shí)，
由題意得：6t+8+2t=24
解得：t=2（秒）；
②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊時(shí)，
由題意得：6t-8+2t=24
解得：t=4（秒）．

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是4；
當(dāng)運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是16；
故答案為：4或16；

（3）當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，點(diǎn)P在線段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
當(dāng)PC=1時(shí)，BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
當(dāng)3≤t＜$\frac{13}{4}$時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，0＜PC＜2，
①點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，
當(dāng)PC=1時(shí)，有BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
當(dāng)PC=$\frac{1}{2}$時(shí)，有BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
3°當(dāng)t=$\frac{13}{4}$時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
當(dāng)PC=$\frac{1}{2}$時(shí)，有BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
此時(shí)，PC=1或$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間的距離，并綜合了數(shù)軸、一元一次方程和線段長(zhǎng)短的比較，難度較大，注意對(duì)第三問(wèn)進(jìn)行分情況討論，不要漏解．