Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣（a+1）x﹣3與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為（﹣1，0）．

（1）求B點與頂點D的坐標；

（2）經過點B的直線l與y軸正半軸交于點M，S△ADM＝5，求直線l的解析式；

（3）點P（t，0）為x軸上一動點，過點P作x軸的垂線m，將拋物線在直線m左側的部分沿直線m對折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新圖象G．請結合圖象回答：當圖象G與直線l沒有公共點時，t的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）D（1，﹣4），B（3，0）；（2）y＝﹣x+3；（3）．

【解析】

（1）把點A的坐標（-1，0）代入y=ax2-（a+1）x-3中，可求得a的值，配方后可得頂點D的坐標，由對稱性可得點B的坐標；

（2）根據三角形的面積=鉛直高度與水平寬度的積，列等式，可得OM的長，寫出M的坐標，利用待定系數法求直線l的解析式；

（3）根據對折的性質得新拋物線的頂點坐標，由開口相同可知：a=1，可得解析式，當圖象G與直線l沒有公共點時，即兩解析式聯立方程組無解，可得結論．

解：（1）把點A的坐標（﹣1，0）代入y＝ax2﹣（a+1）x﹣3中，

得：a+（a+1）﹣3＝0，

a＝1，

∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4），

由對稱性得：B（3，0）；

（2）設直線AD的解析式為：y＝kx+b，

則，

解得：，

∴直線AD的解析式為：y＝﹣2x﹣2，

設AD交y軸于N，

∴ON＝2，

∴S△ADM＝MN（﹣xA+xD）＝5，

∴（2+OM）×（1+1）＝5，

OM＝3，

∴M（0，3），

設直線l的解析式為：y＝kx+b，

則，

解得：；

直線l的解析式為：y＝﹣x+3；

（3）如圖2，由對折得：OC＝3+2（t﹣3）+2＝2t﹣1，

∴新拋物線的頂點為（2t﹣1，﹣4），

解析式為：y＝（x﹣2t+1）2﹣4，

則，

（x﹣2t+1）2﹣4＝﹣x+3，

x2﹣（4t﹣3）x+4t2﹣4t﹣6＝0，

當△＜0時，圖象G與直線l沒有公共點，

即△＝[﹣（4t﹣3）]2﹣4（4t2﹣4t﹣6）＜0，

t＞，

故答案為：．