Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；

（2）由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內角和定理可得∠CBE=180× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．

試題解析：（1）在△ADE與△CDE中， ，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，

∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，

∵AD=CD，∴BC=AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，

∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180× =45°，

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形．