Question

【題目】如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，小圓直徑AE的延長線與大圓交于點B，點D在大圓上，BD與小圓相切于點F，AF的延長線與大圓相交于點C，且CE⊥BD．找出圖中相等的線段并證明．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：由AE是小⊙O的直徑，可得OA=OE，連接OF，根據切線的性質，可得OF⊥BD，然后由垂徑定理，可證得DF=BF，易證得OF∥CE，根據平行線分線段成比例定理，可證得AF=CF，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AD=BC，AB=CD．然后連接OD、OC，可證得△AOD≌△EOC，則可得BC=AD=CE=AE．

試題解析：

圖中相等的線段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．

證明如下：

∵AE是小⊙O的直徑，

∴OA=OE．

連接OF，

∵BD與小⊙O相切于點F，

∴OF⊥BD．

∵BD是大圓O的弦，

∴DF=BF．

∵CE⊥BD，

∴CE∥OF，

∴AF=CF．

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∴AD=BC，AB=CD．

∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，

∴AE=EC．

連接OD、OC，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD．

∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，

∴∠AOC=∠EOC，

∴△AOD≌△EOC，

∴AD=CE．

∴BC=AD=CE=AE．