Question

【題目】（12分）理數學興趣小組在探究如何求tan15°的值，經過思考、討論、交流，得到以下思路：

思路一 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點D，使BD=BA，連接AD．設AC=1，則BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===．

思路二 利用科普書上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假設α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===．

思路三 在頂角為30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…

思路四 …

請解決下列問題（上述思路僅供參考）．

（1）類比：求出tan75°的值；

（2）應用：如圖2，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點A，測得A，C兩點間距離為60米，從A測得電視塔的視角（∠CAD）為45°，求這座電視塔CD的高度；

（3）拓展：如圖3，直線與雙曲線交于A，B兩點，與y軸交于點C，將直線AB繞點C旋轉45°后，是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）能相交，P（﹣1，﹣4）或（，3）．

【解析】試題分析：（1）如圖1，只需借鑒思路一或思路二的方法，就可解決問題；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函數得出∠BAC=30°．從而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，由三角函數就可求出DB，從而求出DC長；

（3）分類種情況討論：①若直線AB繞點C逆時針旋轉45°后，與雙曲線相交于點P，如圖3．過點C作CD∥x軸，過點P作PE⊥CD于E，過點A作AF⊥CD于F，可先求出點A、B、C的坐標，從而求出tan∠ACF的值，進而利用和（差）角正切公式求出tan∠PCE=tan（45°+∠ACF）的值，設點P的坐標為（a，b），根據點P在反比例函數的圖象上及tan∠PCE的值，可得到關于a、b的兩個方程，解這個方程組就可得到點P的坐標；②若直線AB繞點C順時針旋轉45°后，與x軸相交于點G，如圖4，由①可知∠ACP=45°，P（，3），則有CP⊥CG．過點P作PH⊥y軸于H，易證△GOC∽△CHP，根據相似三角形的性質可求出GO，從而得到點G的坐標，然后用待定系數法求出直線CG的解析式，然后將直線CG與反比例函數的解析式組成方程組，消去y，得到關于x的方程，運用根的判別式判定，得到方程無實數根，此時點P不存在．

試題解析：（1）方法一：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點D，使BD=BA，連接AD．設AC=1，則BD=BA=2，BC=．tan∠DAC=tan75°====；

方法二：tan75°=tan（45°+30°）====；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，AB===，sin∠BAC=，即∠BAC=30°．∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB=，∴DB=ABtan∠DAB=（）=，∴DC=DB﹣BC==．

答：這座電視塔CD的高度為（）米；

（3）①若直線AB繞點C逆時針旋轉45°后，與雙曲線相交于點P，如圖3．過點C作CD∥x軸，過點P作PE⊥CD于E，過點A作AF⊥CD于F．解方程組： ，得： 或，∴點A（4，1），點B（﹣2，﹣2）．對于，當x=0時，y=﹣1，則C（0，﹣1），OC=1，∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2，∴tan∠ACF=，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF）===3，即=3．設點P的坐標為（a，b），則有： ，

解得： 或，∴點P的坐標為（﹣1，﹣4）或（，3）；

②若直線AB繞點C順時針旋轉45°后，與x軸相交于點G，如圖4．由①可知∠ACP=45°，P（，3），則CP⊥CG．過點P作PH⊥y軸于H，則∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，∴△GOC∽△CHP，∴．∵CH=3﹣（﹣1）=4，PH=，OC=1，∴，∴GO=3，G（﹣3，0）．設直線CG的解析式為，則有： ，解得： ，∴直線CG的解析式為．聯立： ，消去y，得： ，整理得： ，∵△=，∴方程沒有實數根，∴點P不存在．

綜上所述：直線AB繞點C旋轉45°后，能與雙曲線相交，交點P的坐標為（﹣1，﹣4）或（，3）．