Question

【題目】在同一直線上的三點A，B，C，若滿足點C到另兩個點A，B的距離之比是2，則稱點C是其余兩點的亮點（或暗點）．具體地，當點C在線段AB上時，若＝2，則稱點C是[A，B]的亮點；若＝2，則稱點C是[B，A]的亮點；當C在線段AB的延長線上時，若＝2，稱點C是[A，B]的暗點．例如，如圖1，數軸上點A，B，C，D分別表示數﹣1，2，1，0．則點C是[A，B]的亮點，又是[A，D]的暗點；點D是[B，A]的亮點，又是[B，C]的暗點

（1）如圖2，M，N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣2，點N所表示的數為4．

[M，N]的亮點表示的數是　 　，[N，M]的亮點表示的數是　 　；

[M，N]的暗點表示的數是　 　，[N，M]的暗點表示的數是　 　；

（2）如圖3，數軸上點A所表示的數為﹣20，點B所表示的數為40．一只電子螞蟻P從B出發以2個單位每秒的速度向左運動，設運動時間為t秒．

①求當t為何值時，P是[B，A]的暗點；

②求當t為何值時，P，A和B三個點中恰有一個點為其余兩點的亮點．

Answer 1

【答案】（1）2，0；10，﹣8；（2）①60秒；②t＝10或20或45或90秒

【解析】

（1）設其亮點或暗點表示的未知數，再根據定義列出方程；

（2）根據新定義列出進行解答便可．

解：（1）設[M，N]的亮點表示的數是x，根據定義有，

解得x＝2；

設[N，M]的亮點表示的數是y，根據定義有，

解得y＝0；

設[M，N]的暗點表示的數是z，根據定義有，

解得z＝10；

設[N，M]的暗點表示的數是k，根據定義有，

解得k＝﹣8；

故答案為：2；0；10；﹣8．

（2）①當P為[B，A]暗點時，P在BA延長線上且PB＝2PA＝120，t＝120÷2＝60秒

②P為[A，B]亮點時，PA＝2PB，40﹣2t﹣（﹣20）＝2×2t，t＝10；

P為[B，A]亮點時，2PA＝PB，2[40﹣2t﹣（﹣20）]＝2t，t＝20；

A為[B，P]亮點時，AB＝2AP，60＝2[﹣20﹣（40﹣2t）]，t＝45；

A為[P，B]亮點時，2AB＝AP，120＝﹣20﹣（40﹣2t），t＝90；

綜上，t＝10或20或45或90．