Question

【題目】（1）（操作發現）：如圖一，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內部，延長AF交CD于點G．猜想線段GF與GC的數量關系是　 　．

（2）（類比探究）：如圖二，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

（3）（應用）：如圖三，將（1）中的矩形ABCD改為正方形，邊長AB＝4，其它條件不變，求線段GC的長．

Answer 1

【答案】（1）點E在BC的中點時，GF＝GC，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）CG＝1

【解析】

（1）根據翻折的性質得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；
（2）利用平行四邊形的性質，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，進而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．
（3）設GF=GC=x，則 AG=4+x，DG=4-x，在Rt△ADG中利用勾股定理列出關于x的方程，解之可得．

（1）點E在BC的中點時，GF＝GC，

證明：如圖一，連接EG，

∵E是BC的中點，

∴BE＝CE，

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE＝EF，

∴EF＝EC，

∵EG＝EG，∠C＝∠EFG＝90°，

∴△ECG≌△EFG（HL），

∴FG＝CG，

故答案為：FG＝CG；

（2）（1）中的結論仍然成立．

證明：如圖二，連接FC，

∵E是BC的中點，

∴BE＝CE，

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，

∴EF＝EC，

∴∠EFC＝∠ECF，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴∠B＝∠D，

∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，

∴∠ECD＝∠EFG，

∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，

∴∠GFC＝∠GCF，

∴FG＝CG；

即（1）中的結論仍然成立；

（3）設GF＝GC＝x，則 AG＝4+x，DG＝4﹣x，

在Rt△ADG中，（4+x）2＝（4﹣x）2+42，

解得：x＝1，

即CG＝1．