Question

如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-x²+bx+c經過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限內，F為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求點F的坐標；
（3）點P從點D出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值．

Answer 1

（1）y=-x²-2x+3；（2）（，）  （3）當t為秒或2秒或3秒或秒時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形

試題分析：（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=-x²+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）設第三象限內的點F的坐標為（m，-m²-2m+3），運用配方法求出拋物線的對稱軸及頂點D的坐標，再設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，根據S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=3，列出關于m的方程，解方程求出m的值，進而得出點F的坐標；
（3）設P點坐標為（-1，n）．先由B、C兩點坐標，運用勾股定理求出BC²=10，再分三種情況進行討論：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB²+BC²=PC²，據此列出關于n的方程，求出n的值，再計算出PD的長度，然后根據時間=路程÷速度，即可求出此時對應的t值；②∠BPC=90°，同①可求出對應的t值；③∠BCP=90°，同①可求出對應的t值．
試題解析：（1）∵y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴當y=0時，x=-3，即A點坐標為（-3，0），
當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3），
將A（-3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c，得
， 解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
（2）如圖1，

設第三象限內的點F的坐標為（m，-m²-2m+3），則m＜0，-m²-2m+3＜0．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴對稱軸為直線x=-1，頂點D的坐標為（-1，4），
設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，則G（-1，0），AG=2．
∵直線AB的解析式為y=x+3，
∴當x=-1時，y=-1+3=2，
∴E點坐標為（-1，2）．
∵S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=×2×2+×2×（m²+2m-3）-×2×（-1-m）=m²+3m，
∴以A、E、F為頂點的三角形面積為3時，m²+3m=3，
解得：，（舍去），
當時，-m²-2m+3=-m²-3m+m+3=-3+m+3=m=，∴點F的坐標為（，）；
（3）設P點坐標為（-1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC²=1²+3²=10．
分三種情況：①如圖2，如果∠PBC=90°，那么PB²+BC²=PC²，

即（0+1）²+（n-3）²+10=（1+1）²+（n-0）²，
化簡整理得6n=16，解得n=，
∴P點坐標為（-1，），
∵頂點D的坐標為（-1，4），
∴PD=4-=，
∵點P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₁=；
②如圖3，如果∠BPC=90°，那么PB²+PC²=BC²，

即（0+1）²+（n-3）²+（1+1）²+（n-0）²=10，
化簡整理得n²-3n+2=0，解得n=2或1，
∴P點坐標為（-1，2）或（-1，1），
∵頂點D的坐標為（-1，4），
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，
∵點P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₂=2，t₃=3；
③如圖4，如果∠BCP=90°，那么BC²+PC²=PB²，

即10+（1+1）²+（n-0）²=（0+1）²+（n-3）²，
化簡整理得6n=-4，解得n=-，
∴P點坐標為（-1，-），
∵頂點D的坐標為（-1，4），
∴PD=4+=，
∵點P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₄=；
綜上可知，當t為秒或2秒或3秒或秒時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形．
考點: 二次函數綜合題.