Question

如圖，PQ=10，以PQ為直徑的圓與一個以20為半徑的⊙O內(nèi)切于點P，與正方形ABCD切于點Q，其中A、B兩點在⊙O上．若AB=m+

n

，其中m、n是整數(shù)，求m+n的值．

Answer 1

連接OA，
∵兩圓內(nèi)切，
∴P、Q、O共線，設(shè)過P、Q、O的直線交AB于R，AB=x，
則OQ=OP-PQ=10，RO=RQ-OQ=x-10，（2分）
∵CD與小圓切于點Q，
∴QR⊥CD，QR⊥AB，
∴根據(jù)垂徑定理知AR=

1

2

AB=

1

2

x，（4分）
∴在Rt△OAR中，OA²=OR²+AR²，
即(10-x)2+(

x

2

)2=202，（6分）
解得：x=8±

304

，（8分）
而AB=m+

n

，m、n為整數(shù)，
∴m=8，n=304，
∴m+n=312．（10分）
故答案為：312．