Question

（1）如圖1，若⊙O₁與⊙O₂外切于A，BC是⊙O₁與⊙O₂外公切線，B、C為切點，求證：AB⊥AC．
（2）如圖2，若⊙O₁與⊙O₂外離，BC是⊙O₁與⊙O₂的外公切線，B、C為切點，連心線O₁O₂分別交⊙O₁、⊙O₂于M、N，BM、CN的延長線交于P，則BP與CP是否垂直？證明你的結論．
（3）如圖3，若⊙O₁與⊙O₂相交，BC是⊙O₁與⊙O₂的公切線，B、C為切點，連心線O₁O₂分別交⊙O₁、⊙O₂于M、N，Q是線段MN上一點，連接BQ、CQ，則BQ與CQ是否垂直？證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連接O₁A，O₂C，
∵BC是兩圓的外公切線，
∴∠O₁BC=∠O₂CB=90°，
∴O₁B∥O₂C，
∴∠O₁+∠O₂=180°，
∵∠O₁AB=∠O₁BA=

1

2

（180°-∠O₁）=90°-

1

2

∠O₁=90°-∠ABC，
∴∠ABC=

1

2

∠O₁，
同理：∠ACB=

1

2

∠O₂，
∴∠ABC+∠ACB=

1

2

（∠O₁+∠O₂）=90°，
∴∠BAC=90°．
∴AB⊥AC；

（2）BP⊥CP．
證明：如圖2，連接O₁B，O₂C，
∵BC是兩圓的外公切線，
∴∠O₁BC=∠O₂CB=90°，
∴O₁B∥O₂C，
∴∠O₁+∠O₂=180°．
∠O₁BM=∠O₁MB=

1

2

（180°-∠O₁）=90°-

1

2

∠O₁=90°-∠PBC，
∴∠PBC=

1

2

∠O₁，
同理：∠PCB=

1

2

∠O₂，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠O₁+∠O₂）=90°，
∴∠BPC=90°，
∴BP⊥CP；

（3）BQ與CQ不垂直．
證明：如圖3，連接O₁B，O₂C，
∵BC是兩圓的外公切線，
∴∠O₁BC=∠O₂CB=90°，
∴O₁B∥O₂C，
∴∠O₁+∠O₂=180°．
∵O₁B＞O₁Q，
∴∠O₁QB＞∠O₁BQ，
同理：∠O₂QC＞∠O₂CQ，
∴∠O₁QB+∠O₂QC＞∠O₁BQ+∠O₂CQ，
∴∠O₁QB+∠O₂QC＞90°，
∴∠BQC＜90°
∴BQ與CQ不垂直．