Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別相交于、兩點，拋物線經過點，交軸正半軸于點．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）已知點是拋物線上的一個動點，并且點在第一象限內，連接、，設點的橫坐標為，的面積為，求與的函數表達式，并求出的最大值及此時動點的坐標；

（3）將點繞原點旋轉得點，連接、，在旋轉過程中，一動點從點出發，沿線段以每秒個單位的速度運動到，再沿線段以每秒個單位長度的速度運動到后停止，求點在整個運動過程中用時最少是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2），的最大值是，此時動點的坐標是；（3）秒．

【解析】

（1）根據直線l的解析式可求出點B坐標，把點B坐標代入可求出a值，即可得拋物線解析式；

（2）如圖，連接OM，過點M作ME⊥y軸于E，MD⊥x軸于D，根據（1）中所求拋物線解析式可求出點C坐標，可得出m的取值范圍，根據直線l解析式可求出A點坐標，根據即可得S關于m的關系式，利用二次函數的性質即可求出S的最大值和點M的坐標；

（3）如圖，根據題意作點H（0，），連接HA′、OA′、BA′、CA′，可證明，可得，根據，利用勾股定理求出HC的長即可得點在整個運動過程中用時最少的時間．

（1）將代入，得，

∴點的坐標為，

∵拋物線經過點，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：．

（2）如圖，連接OM，過點M作ME⊥y軸于E，MD⊥x軸于D，

將代入，得，，

∴點的坐標為，

∵點是拋物線上的一個動點，并且點在一象限內，點的橫坐標為，

∴，點的坐標為，

將代入，得，

∴點的坐標，

∴

=OB·ME+OA·MD-OB·OA

，

化簡得：，

當時，-m2+2m+3=，

∴時，取得最大值，的最大值是，此時動點的坐標是．

（3）如圖，取點的坐標為，連接、，

∵，，

∴，

∴，即，

∵點P在BA′上運動的速度是每秒3個單位長度，在CA′上運動的速度是每秒1個單位長度，

∴在BA′上運動的時間為，在CA′上運動的時間為A′C，

∵，

∴點在整個運動過程中用時，即點在整個運動過程中用時最少是秒．