Question

【題目】如圖1所示，拋物線與軸交于點兩點，與軸交于點，直線經過點，與拋物線另一個交點為，點是拋物線上的一個動點，過點作軸于點，交直線于點

（1）求拋物線的解析式

（2）當點在直線上方，且是以為腰的等腰三角形時，求的坐標

（3）如圖2所示，若點為對稱軸右側拋物線上一點，連接，以為直角頂點，線段為較長直角邊，構造兩直角邊比為的，是否存在點，使點恰好落在直線上？若存在，請直接寫出相應點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P 或；（3）存在，2或

【解析】

（1）利用待定系數法求二次函數的解析式；

（2）先把C點代入直線CD中求出m的值，表示P(m，-m2+2m+3)、E(m，m+3)，當△CPE是以CE為腰的等腰三角形時，然后分分兩種情況：①當CE=CP時，②當CE=PE時；

（3）先根據點P在拋物線上，G在直線y=x上設P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)，

如圖3，作輔助線，構建兩個相似三角形，證明△PHG∽△BNP，則，由兩直角邊比為1：2列方程組解出橫坐標m；如圖4，同理列方程組解出m的值．

解：（1）把點的坐標代入拋物線中，

得：，

解得，

所以拋物線的解析式為；

（2）把代入，得，

所以直線的解析式為：，

設，

①當時，作，如圖2，

，

，

．

，

，

當時，；

②當時， ，，

勾股定理得，

，

解得(舍去)，，

當時，

綜上所述當三角形是以為腰的等腰三角形時，點P的坐標為或；

（3）點P的橫坐標為2或．

設P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)，

如圖3，

過B作BN∥y軸，過P作PH∥x軸，交于N，過G作GH⊥PN，垂足為H，則∠PHG=∠BNP=90°，

∴∠NBP+∠BPN=90°，

∵∠BPG=90°，

∴∠BPN+∠NPG=90°，

∴∠NBP=∠NPG，

∴△PHG∽△BNP，

∴，

∵=2，

∴=2，

∴=2，

則，

解得：m1=-3（舍去），m2=2；

如圖4，

過P作NH∥x軸，過G作GN⊥NH，過B作BH⊥NH，垂足分別為N、H，

同理得：△PNG∽△BHP，

∴，

∴，

∴，

解得：m1=（舍去），m2=，

綜上所述，相應點P的橫坐標為2或．