Question

【題目】定義：如圖1，A，B為直線l同側的兩點，過點A作直線l的對稱點A′，連接A′B交直線于點P，連接AP，則稱點P為點A，B關于直線l的“等角點”．

運用：如圖2，在平面直坐標系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）兩點

（1）C（4，），D（4，），E（4，），哪個點是點A，B關于直線x＝4的“等角點”；

（2）若直線l垂直于x軸，點P（m，n）是點A，B關于直線l的“等角點”，其中m＞2，∠APB＝α，求證：tan．

Answer 1

【答案】（1）點C；（2）見解析

【解析】

（1）點B關于直線x＝4的對稱點為B′（10，），由待定系數法求出直線AB′的解析式為y＝﹣x+，當x＝4時，y＝，即可得出結果；

（2）過點A作直線l的對稱點A′，連接A′B，交直線l于點P，作BH⊥l于點H，由點A和A′關于直線l對稱，得出∠APG＝∠A′PG，證明△AGP∽△BHP，得出＝，求出m＝，由∠APB＝α，AP＝A′P，得出∠A＝∠A′＝，在Rt△AGP中，tan＝＝＝＝．

（1）解：點B關于直線x＝4的對稱點為B′（10，﹣），

設直線AB′的解析式為：y＝kx+b，

則，

解得：，

∴直線AB′的解析式為：y＝﹣x+，

當x＝4時，y＝，

∴點C（4，）是點A，B關于直線x＝4的“等角點”；

（）證明：過點A作直線l的對稱點A′，連接A′B，交直線l于點P，作BH⊥l于點H，如圖所示：

∵點A和A′關于直線l對稱，

∴∠APG＝∠A′PG，

∵∠BPH＝∠A′PG，

∴∠APG＝∠BPH，

∵∠AGP＝∠BHP＝90°，

∴△AGP∽△BHP，

∴＝，

即：＝，

∴mn＝2，

∴m＝，

∵∠APB＝α，AP＝A′P，

∴∠A＝∠A′＝，

在Rt△AGP中，tan＝＝＝＝．