Question

【題目】在△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC 繞頂點 C 順時針旋轉，旋轉角為0 180 ，得到 ABC

（1）求當角為多少度時， CBD 是等腰三角形；

（2）如圖②，連接 AA, BB ，設 ACA , BCB 的面積分別為 S1 , S2 ，求的值；

（3）如圖③，設 AC 的中點為 E， AB 的中點為 P，AC=a，連接 EP，當旋轉角為多少時，EP 長度最大，并求出 EP 的最大值；

Answer 1

【答案】（1）θ＝；（2）；（3） ；

【解析】

（1）分三種情況討論，由等腰三角形的性質可求解；
（2）通過證明△A'CA∽△B'CB，可得；

（3）由直角三角形的性質可求，由三角形三邊關系可得EC+CP≥EP，即當點P在EC的延長線上時，EP有最大值，由旋轉的性質可求旋轉角的度數．

解：（1）∵將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
∴∠ABC=∠A'B'C=30°，∠ACA'=∠BCB'=θ，
∵△CB'D是等腰三角形，
①當CD=B'D時，
∴∠BCB'=∠A'B'C=30°=θ
②當CB'=CD時，
∴∠CB'A'=∠CDB'=30°，
∴∠BCB'=120°=θ
③當B'C=B'D，且∠A'B'C=30°，
∴∠B'CD=∠B'DC=75°，
綜上所述：當θ=30°或120°或75°時，△CB'D是等腰三角形；
（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴tanABC=

∵將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
∴AC=A'C，BC=B'C，∠ACA'=∠BCB'，

，且∠ACA'=∠BCB'，
∴△A'CA∽△B'CB，

；

（3）如圖3，連接CP，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=a，
∴AB=2a，
∵將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
∴A'B=AB=2a，
∵AC的中點為E，A′B′的中點為P，
∴EC=，CP=A'B=a，
∵在△ECP中，EC+CP≥EP，
∴當點P在EC的延長線上時，EP有最大值，
∴EP最大值=EC+CP=

∵CP=A'C=A'P=a，
∴∠A'CP=60°，
當點P在EC的延長線上時，θ=∠ACA'=180°-∠A'CP=120°．