Question

【題目】探究：如圖①，AB∥CD∥EF，點G、P、H分別在直線AB、CD、EF上，連結PG、PH，當點P在直線GH的左側時，試說明∠AGP+∠EHP＝∠GPH．下面給出了這道題的解題過程，請完成下面的解題過程，并填空（理由或數學式）．

解：如圖①，∵AB∥CD（　 　）

∴∠AGP＝∠GPD

∵CD∥EF

∴∠DPH＝∠EHP（　 　）

∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH，

∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH（　 　）

拓展：將圖①的點P移動到直線GH的右側，其他條件不變，如圖②．試探究∠AGP、∠EHP、∠GPH之間的關系，并說明理由．

應用：如圖③，AB∥CD∥EF，點G、H分別在直線AB、EF上，點Q是直線CD上的一個動點，且不在直線GH上，連結QG、QH．若∠GQH＝70°，則∠AGQ+∠EHQ＝　 　度．

Answer 1

【答案】探究：已知；兩直線平行，內錯角相等；等量代換；

拓展：∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°，理由見解析；應用：70或290．

【解析】

探究：由于AB∥CD是條件，因此理由是“已知”，由于∠DPH與∠EHP內錯角，因此由CD∥EF推出∠DPH=∠EHP的理由是“兩直線平行，內錯角相等”，由∠GPD+∠DPH=∠GPH得到∠AGP+∠EHP=∠GPH，是將∠GPD換成∠AGP，將∠DPH換成∠EHP，因此理由是“等量代換”；
拓展：由AB∥CD得到∠AGP+∠GPC＝180°，由CD∥EF得到∠CPH+∠EHP＝180°，

故∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP＝360°；
應用：分兩種情況討論，點Q在直線GH的左側或點Q在直線GH的右側時，分別運用探究和拓展得到的結論就可解決問題．

解：探究：∵AB∥CD（已知）

∴∠AGP＝∠GPD，

∵CD∥EF，

∴∠DPH＝∠EHP（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH

∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH（等量代換）．

故答案分別為：已知；兩直線平行，等量代換；

拓展：當點P在直線GH的右側時，其他條件不變，如圖2，∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°．理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠AGP+∠GPC＝180°，

∵CD∥EF，

∴∠CPH+∠EHP＝180°，

∴∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP＝360°，

即∠AGP+∠GPH+∠EHP＝360°；

應用：①當點Q在直線GH的左側時，則有∠AGQ+∠EHQ＝∠GQH．

∵∠GQH＝70°，

∴∠AGQ+∠EHQ＝70°；

②當點Q在直線GH的右側時，則有∠AGQ+∠EHQ+∠GQH＝360°．

∵∠GQH＝70°，

∴∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°．

綜上所述：若∠GQH＝70°，則∠AGQ+∠EHQ＝70°或290°．

故答案為70或290．