Question

【題目】如圖1，菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，連接CE、CF．

（1）求證：CE=CF；
（2）如圖2，若H為AB上一點，連接CH，使∠CHB=2∠ECB，求證：CH=AH+AB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，

∵點E、F分別為AB、AD的中點，

∴BE= AB，DF= AD，

∴BE=DF，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴CE=CF

（2）證明：延長BA與CF，交于點G，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，

∴∠G=∠FCD，

∵點F分別為AD的中點，且AG∥CD，

∴AG=AB，

∵△BCE≌△DCF，

∴∠ECB=∠DCF，

∵∠CHB=2∠ECB，

∴∠CHB=2∠G，

∵∠CHB=∠G+∠HCG，

∴∠G=∠HCG，

∴GH=CH，

∴CH=AH+AG=AH+AB．

【解析】（1）由菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，易證得△BCE≌△DCF（SAS），則可得CE=CF；（2）由平行線的性質，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的對應角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易證得∠G=∠HCG，則可得CH=GH，則可證的結果．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．